오일러 공식 유도와 푸리에 변환

✔️ 안녕하세요, 의치한약수 메디컬 진학을 꿈꾸는 학생이라면 반드시 확인해야하는, 메디컬 학종 세특 심화탐구 참고 보고서 전문 채널 메디컬저널입니다

❗️이번 콘텐츠는 채널 구독자 여러분들이라면 한 번쯤 읽어보셨을 메디컬저널의 푸리에급수, 푸리에적분, 푸리에변환 탐구에서 등장하였던 '오일러 법칙'을 고등수학(상)에서 배운 복소수 평면과 미적분을 통해 직접 유도해보고 실제 푸리에 변환 등에서 활용되는 지수함수와 삼각함수의 관련성에 대하여 오일러 법칙으로 간단히 정리해보도록 하겠습니다.

✏️ 푸리에 심화탐구는 아래 자료 참고하세요!

#1 삼각함수 수열의 합과 푸리에 급수

#2 적분을 통한 푸리에 계수의 결정

#3 푸리에적분과 푸리에변환, 뇌파(EEG) 분석을 통한 뇌신경계 질환의 진단

푸리에 변환에서의 오일러 법칙

→ 위 #3번 푸리에변환 탐구에서 우리는 오일러 공식을 통해 복잡한 삼각함수로 표현된 푸리에식을 지수함수의 형태로 간단히 나타내 정리하였습니다. (#3 탐구 후반부 참고)

❗️ 간단히 정리하자면 오일러 공식은 지수함수와 삼각함수의 관계를 복소수 형태로 표현함으로써, 푸리에 식에 등장하는 복잡한 삼각함수를 간결한 지수함수 형태로 변환할 수 있게 해주는 수학적 도구라 할 수 있습니다.

고등수학(상) 복소수와 복소평면

✔️ 고등수학(상)에서는 복소수가 무엇인지와 그 성질에 대해 배웁니다. 복소수란 실수부와 허수부의 합으로 나타내어지는 수를 의미하며 Imaginary number이라는 이름처럼 허수는 상상으로 만들어진 실존하지 않는 수 이지만 수학과 과학, 특히 현대물리에서의 필요성에 의해 존재하는 수 입니다.

❗️허수(Imaginary number)와 복소수(Complex) 는 앞선 설명처럼 필요에 의한 수 체계입니다. 이를 좀 더 직관적으로 설명하자면, 음수라는 수 체계에 의해 수에 방향성이 부여된 것과 유사합니다.

→ 단순히 크기를 나타내는 스칼라량에서, 음수의 개념이 도입되며 1차원 방향성을 가진 벡터량이 만들어지게 됩니다. 실존하지 않는 수인 음수가 실생활과 과학에서 유용하게 활용되는 것 처럼 상상의 수인 허수 역시 수학적, 과학적 필요성에 의해 존재하는 수라 할 수 있습니다.

→ 특히 20세기부터 슈뢰딩거 방정식을 기본으로 하는 양자 역학 등의 현대 물리에서는 눈에 보이지 않는 미시 세계에서의 물리적 현상을 설명하기 위해 허수와 복소수가 필수적이었습니다.

→ 즉, 허수와 복소수는 실존하지는 않지만 더 복잡하고 정밀한 현대 과학을 설명하기 위해 필요한 고차원의 수 체계로서 매우 중요한 수학적 도구로 활용됩니다.

❗️복소수 체계는 1차원 벡터 차원의 실수를 2차원의 수로 회전시키는 의미가 있습니다. 복소수를 기하학적으로 표현한 위 복소평면(Complex plane)는 실수부와 허수부를 직교하는 축으로 나타낸 좌표평면으로서, 동일한 실수도 각 세타(θ)에 따라 2차원 복소수로 회전하게 됩니다.

── 여기부터 구독자 전용 ──

❗️이때 위 복소평면에서 복소수 z(=x+iy)는 거리(r)와 각도(θ)를 통해 좌표를 나타내는 극좌표계로서 z=rcosθ(실수부)+r(isinθ)(허수부) 로 표현할 수 있으며 특히 r=1인 단위 원에서는 z=cosθ+isinθ로 표현됩니다.

(극 좌표계란, 위치를 거리와 각도로 표현하는 좌표계로 중심(원점)으로부터 얼마나(r) 그리고 어느 방향으로(θ) 떨어져 있는지 위치를 표현하는 좌표계를 의미합니다)

미분을 통한 오일러 공식의 유도

✔️ 오일러 공식을 유도하는 방식으로 크게는 미분방정식을 활용하는 방법, 테일러 급수를 활용하는 방법이 있으나 이번 탐구에서는 미분을 통해 간단히 오일러 공식을 유도해보도록 하겠습니다.

① 앞서 극좌표계로 나타낸 복소수 z=cosθ+isinθ를 θ에 대하여 미분해줍니다.

$z=\cos θ+i\sin θ의\ 양변을\ θ에\ 대하여\ 미분$

$\frac{dz}{dθ}=-\sin θ\ +\ i\cos θ$

$\because z는\ θ에\ 대한\ 종속변수이므로\ 미분시\ \frac{dz}{dθ}로\ 표현\left(순간변화율\right),$

$\ \ \ \cos x를\ 미분하면-\sin x,$

$\ \ \ \sin x를\ 미분하면\ \cos \ x.$