직선의 방정식과 약물 용량-반응(Dose-Response) 관계

✔️ 안녕하세요, 의약계열 메디컬 학종 세특 심화탐구의 교과서 메디컬저널입니다.

약력학(Pharmacodynamics)과
약물 용량-반응(Dose-Response) 상관관계

✔️ 고1 수학은 사실 고2, 고3 수학의 기초가 되는 비교적 간단한 내용들로 구성되어 있습니다. 기초적 내용이기에, 의약학 심화 개념의 많은 부분들이 이러한 수학적 내용에 기초를 두고 있다고도 할 수 있지만, 심화적 개념은 기초적 수학의 배경 위에 수많은 추가적인 개념들이 쌓아올려진 것이기에 둘 사이의 직접적인 관계를 명확하게 설명하는 것은 쉽지 않습니다. 예를 들면 간의 생리적인 특성을 설명할 때 여러가지 개념들이 등장할 것이고, 이를 수학적으로 설명하는 과정에서는 반드시 '방정식'이라는 수학 기초 개념이 필요할 것입니다. 다만 그렇다고 해서 간의 생리적 특성과 방정식 사이의 직접적인 1차원적 관계를 설명하는 탐구 주제를 찾아내는 것은 쉬운 일이 아닙니다.

❗️ 이번 탐구에서는, '직선의 방정식' 단원과 관련하여, 수학적으로 간단히 직선의 방정식을 구하는 고등수학(상)과는 달리 실제 의약학의 연구에서 실험을 통해 변수간의 직선적 관계를 모델링하며 이를 통해 환자의 약물 용량-반응(Dose-response) 상관관계를 예측하고 그것을 활용하는 방식에 대해 탐구해보려 합니다. 약물의 용량-반응 연구는 약물에 대한 생체(환자)의 반응을 탐구하는 학문인 약력학(Pharmacodynamics)의 핵심이 되는 개념입니다. 제가 이전 탐구들에서는 약동학(Pharmacodynamics)적 주제들을 많이 다루었는데, 약력학(PD)와 약동학(PK)는 서로 대비되는 개념으로서, 쉽게 설명하자면 약력학은 약물이 우리 몸에 어떠한 영향을 주는지에 관한 것이며 반면 약동학은 우리 몸이 섭취된 약물에 어떤 영향(흡수, 분배, 대사. 배설 등)을 주는지에 관한 학문입니다.

약물 입자가 1개일 때, 우리 몸이 1만큼 반응한다면, 약물 입자가 2개일 때는 2만큼, 3개일 때는 3만큼 반응하게 될까요? 만약 그렇다면, 이는 직선적(Linear) 용량-반응 상관관계라 할 수 있을 것입니다. 하지만 실제로는 항상 그러한 직선적 관계를 나타내는 것은 아니며, 실제로는 통합과학에서의 물질의 농도차에 따른 촉진확산 속도(혹은 화학2) 그래프와 유사하게도 일정 용량(혹은 농도) 이상에서는 '포화'되는 특징이 있습니다.

그렇다면, 이러한 약물 용량-반응(Dose-Response) 상관관계를 알아내는 것은 어떠한 용도로 활용될 수 있을까요? 이번 탐구에서는 용량-반응 상관관계에서 나타나는 직선성과 포화의 현상, 그리고 이러한 약력학적 관계를 알아내는 것의 의미와 그 활용에 대해 자세히 살펴보도록 하겠습니다.

✔️ 1학기 고등수학(상) 직선의 방정식 단원을 공부하며 직선의 방정식을 그리는 여러가지 방식과 그러한 공식을 유도하는 과정에 대해 배웠다. 우리가 수학에서 배우는 직선이란 주로 좌표 평면 상의 직선을 의미하며 즉 이는 두 변수 사이의 선형적 관계를 의미하는 것이다. 사실 우리 주변만 살펴보아도 선형적 관계성을 가진 것들을 쉽게 찾아낼 수 있다. 내가 사용하는 볼펜의 가격이 1000원이라면, 볼펜 1자루는 1000원이며, 2자루는 2000원, 3자루는 3000원에 살 수 있을 것이다. 이러한 선형적 관계는 우리 주변의 간단한 예시들 뿐만 아니라 여러 학문들에도 수학적 기초로서 적용되고 있을 것이다. 의약학 계열을 진로로 희망하는 나는 나의 진로분야에 이러한 선형적 특성이 어떻게 적용되고 있으며, 이를 활용하는 것에 대해 탐구를 진행해 보았다.

직선의 방정식, 어떻게 그릴까요?

✔️ 고등수학(상)의 직선의 방정식 단원에서는 직선의 방정식을 구하는 여러가지 방법들에 대해 소개하고 있습니다. (자세한 내용은 교과서를 참고하시기 바랍니다.)

❗️그 중에서도 서로 다른 두 점의 좌표를 알고 있을 때, 그 두 점을 지나는 직선의 방정식을 아래와 같이 간단히 구해낼 수 있습니다.

$y-\combi{y}_1\ =\ \frac{\combi{y}_2-\combi{y}_1}{\combi{x}_2-\combi{x}_1}\left(x-x_1\right)\ \ \ \ \left(단,\ x_1\ \combi{\ne \ x}_2\ 일\ 때\ \right)$

3개 이상의 점을 지나는 직선의 방정식?

✔️ 우리는 고등수학(상)의 직선의 방정식 단원에서 직선을 그리는 방법에 대해 배웠습니다. 앞서 살펴본 것처럼 다양한 종류의 정보를 통해 직선을 그리고 그 방정식을 정의할 수 있습니다. 특히 두 점의 좌표 정보를 알고 있다면, 이 두 점을 지나는 직선의 방정식을 구할 수 있었습니다.

❗️그런데, 그렇다면 만약 3개의 점의 좌표가 주어진다면, 해당 3개의 점을 모두 지나는 직선의 방정식을 구할 수 있을까요? 점의 갯수가 4개, 5개, 6개, 혹은 무수히 많아진다면 어떻게 직선을 구해내야 할까요? 점 3개로 간단히 한번 시도 해보면 알 수 있는 것 처럼, 점 3개를 지나는 직선은 존재할 수도, 존재하지 않을 수도 있습니다.

※ x의 크기가 커지는 순서대로 점 a, b, c 가 있다고 가정할 때 만약 a에서 b까지의 'y의 증가량/x의 증가량' 값과, b에서 c까지의 'y의 증가량/x의 증가량' 값이 같다면, 세 점 a,b,c를 모두 지나는 직선의 방정식을 구할 수 있을 것입니다. 이때 y의 증가량/x의 증가량은 우리가 모두 알고있는 것 처럼 기울기에 해당합니다. 반면 그 외의 경우에서는 a,b,c를 모두 지나는 직선을 그릴 수 없으며, 그 방정식 또한 존재하지 않습니다.

❗️그런데, 우리가 직선적 관계에 있을 것으로 예상하는 것으로부터 실제로 직선의 방정식을 얻어내는 과정은 단 두개의 점으로만 수행되는 것이 아닙니다. 예를들면 a개의 수소 분자(H2)와 b개의 산소분자(O2)가 반응하여 c개의 물분자(H2O)가 생기는 간단한 반응을 생각해보면, 수소 분자가 충분히 존재하는 상황에서, 우리는 공급하는 산소분자의 갯수와, 그 결과 생성되는 물분자의 갯수 사이에는 직선적 관계가 존재한다고 예상할 수 있으며, 실험적으로 이 관계를 찾아가게 됩니다.

$a\combi{H}_2\ +\ b\combi{O}_2\ \ \to \ c\combi{H}_2O$

사실 우리는 반응 전후 특정 원소가 사라지거나 새로 생기지 않는다는 화학적 개념을 통해, a=2, b=1. c=2인 것을 알아낼 수 있습니다. 즉 수소가 충분할 때, 공급되는 산소분자의 개수(x)와 생성되는 물분자의 개수(y)는 y=2x의 직선적 관계에 있다는 것을 알고 있습니다. 다만, 화학식조차 알지 못할 때에는 이러한 관계를 밝히는 것은 실험적으로 이루어질 수 밖에 없습니다.

그런데 실험적으로 이러한 직선적 관계를 규명해나갈 때, 앞서 언급한 것 처럼 단 두개의 점으로는 충분하지 않은데, 그 이유는 바로 실험적 오차 때문입니다. 예를 들면, 산소 분자를 1개 공급하였을 때 물 분자가 2개 생성되었고, 산소 분자를 2개 공급하였을 때 물 분자가 5.5개 생성되었다고 해서 둘 사이의 관계를 y=2.5x라고 할 수는 없습니다. 실제 실험의 과정에서는 오차를 발생시킬 수 있는 수많은 요인들이 존재하며 단 두개의 점(실험 결과)만으로 관계를 규명하는 것은 오차로 인해 부정확한 결과를 얻을 가능성이 매우 커지게 합니다.