푸리에 계수 공식 유도와 직교성 증명

✔️ 안녕하세요 의약계열 심화탐구의 교과서 메디컬저널입니다. 메디컬저널에서는 실질적 도움이 되지 않는 얕은 수준의 탐구 자료들을 무분별하게 찍어내는 것이 아닌, 메디컬 분야에만 집중하여 다른 학생들과 완전히 차별화될 수 있는, 또한 즉시 사용할 수 있는 자료만을 제공합니다.

❗️이번 게시글은 지난 푸리에 해석 1편의 내용을 뒷받침하는 수학적 내용에 관한 것입니다. 지난 게시글은 수학1의 '삼각함수', '수열의 합' 내용과 연계하여, 삼각함수 수열의 합 '푸리에급수'에 대한 이론적 내용들을 살펴보았습니다.

미적분(혹은 수학2의 미적분)을 배운 학생들은 이번 탐구 내용을 이전 탐구에 더하여 통합적 탐구를 진행하면 좋을 듯 합니다. 푸리에 계수를 구하는 방식에 대한 자료는 쉽게 찾아볼 수 있으나 고등학생 맞춤의 자료는 찾아볼 수 없었습니다. 메디컬저널에서는 고등학생의 관점에서 차근차근 쉽게 풀어 설명해보도록 하겠습니다.

함수의 직교성(Orthogonality)?

✔️ 앞선 탐구에서 살펴본 것 처럼, 직교성이란 두 성분 사이에 어떠한 관계도 없음을 의미하며, 어떤 대상이나 현상을 설명할 때 독립적으로 나타내주어야 하는 요소라 할 수 있습니다. 기하 과목에서 배우겠지만, 직교성이란 주로 벡터 사이의 관계를 정의하는데 사용되는 개념입니다. 좌표평면의 x축과 y축 처럼 수직인 두 벡터 사이에는 직교성이 존재하며, 이는 두 벡터가 서로 관계가 없음을 의미합니다.

좀 더 수학적으로 설명하자면, 벡터의 경우 두 벡터의 내적이 0일 때 두 벡터는 직교성을 가지는 것으로 정의합니다. 아마 통합과학이나 물리 등에서 배워 알고 있는 것 처럼, 벡터란 크기와 방향을 모두 가지는 것으로서 크기만을 가지는 스칼라량과는 다릅니다. 다만, 벡터의 내적 값은 스칼라량인데, 벡터의 내적이란 두 벡터 사이의 곱을 의미하며, 서로 다른 방향인 벡터들을 곱하기 위해서는 우선 방향을 일치시켜 주어야 합니다.

위의 그림처럼 벡터 A와 B가 있을 때, 방향을 일치시켜주기 위해 A와 B중 어느 하나에 코사인Θ값을 곱해주며, 이제 방향이 일치된 벡터들은 스칼라량으로 취급할 수 있게 됩니다. 이는 벡터 A 중, cosΘ을 통해 벡터 B와 일치하는 방향만을 뽑아내는 것이라 할 수 있습니다. 다만, 두 벡터가 직각을 이루는 경우 cos Θ값은 0이 되며, 두 벡터의 내적값은 0이 됩니다. 이는 다르게 말하자면 벡터 A에는, 벡터 B의 방향과 일치하는 성분이 하나도 존재하지 않음을 의미하며 이것이 바로 직교성의 의미에 해당합니다.

$\int _{\ }^{\ }f\left(x\right)\times g\left(x\right)\ dx\ =\ 0\ 일때,\ f\left(x\right)와\ g\left(x\right)는\ 직교성을\ 가진다.$

❗️벡터에서는 두 벡터의 내적 값이 0인 경우, 두 벡터가 직교성을 가진다고 정의하였습니다. 다만, 두 함수 사이의 직교성을 판단하는 것은 벡터와는 다른데, 두 함수 곱의 적분 값이 0인 경우 두 함수 사이에는 직교성이 있다고 정의합니다. 두 함수를 곱한 것의 적분 값이 0인 것이 왜 두 함수 사이의 직교성을 의미하는지에 대한 증명은 기하 과목의 심화탐구로 추후 진행하도록 하겠습니다.

• 이번 탐구에서는 함수의 직교성의 정의를 전제라 가정하고 시작하도록 하겠습니다.

Cos함수와 Sin함수의 직교성

✔️ 두 함수가 직교성을 가진다는 것은, 두 함수의 곱을 적분한 값이 0이되는 것을 의미한다는 사실을 통해 코사인 함수와 사인함수 사이의 직교성을 판단해보도록 하겠습니다. 즉, 직교성을 확인하기 위해서 우리는 두 함수를 곱하여 적분한 값이 0이 되는 것을 증명해내면 됩니다.

❗️우선, 직교성을 살펴보기 이전 아래의 삼각함수 공식을 숙지하고 있어야 합니다.

※ 비록 수업시간에 배우지 않았더라도, 아래 공식들을 추가 탐구를 통해 정리하는 것 역시 의미가 있을 것으로 생각합니다.

❗️ 또한, sinx와 cosx 모두 -π 에서 π까지(혹은 한 주기 범위를) 적분한 값은 0이 된다는 것을 미리 이해하고 가도록 합니다. 또한 sin ax와 cos bx 역시 a와 b가 정수일 때 적분 값은 마찬가지로 0이 됩니다.

f(x) = Cos nx 와 g(x) = Sin mx는 직교성을 가진다 (n, m은 정수)

⇢ 우선 n과 m은 앞선 탐구에서 살펴본 것 처럼, 주기함수의 주파수(진동수)이며 특정 정수 값을 나타냅니다. 우리는 두 함수 f(x) = Cos nx와 g(x) = Sin mx 가 직교성을 나타내는지를 확인하기 위해 두 함수를 곱한 후 원점을 중심으로 한 주기에 해당하는 -π에서 π까지 적분을 해보도록 하겠습니다.(한 주기에서 적분값이 0이면, 전체 범위에서 역시 0이라 할 수 있습니다.)

$\int _{-\pi }^{\pi }\cos nx\sin mx\ dx=\ \frac{1}{2}\int _{-\pi }^{\pi }\left[\sin \left(n+m\right)x\ -\sin \left(n-m\right)x\right]\ dx$

$=\ \frac{1}{2}\int _{-\pi }^{\pi }\sin \left(n+m\right)x\ dx\ +\ \frac{1}{2}\int _{-\pi }^{\pi }\sin \left(n-m\right)x\ dx$$$

$단,\ n+m과\ n-m은\ 정수이며,\ \ \sin kx\ 는\ 기함수이므로$

−π부터 π까지 적분할 시 항상 0 

① n≠m일때, 

∫π−πcosnxsinmx dx = 0 

② n=m일때, 

$\frac{1}{2}\int _{-\pi }^{\pi }\sin \left(n+m\right)x\ dx\ +\ \frac{1}{2}\int _{-\pi }^{\pi }\sin \left(n-m\right)x\ dx$

$=\ 0\ +\frac{1}{2}\int _{-\pi }^{\pi }\sin \ 0\ dx\ =\ \frac{1}{2}\int _{-\pi }^{\pi }0\ dx$

$정적분에서\ \int _{\ }^{\ }0\ dx\ =\ 0이므로$

마찬가지로 ∫π−πcosnxsinmx dx = 0 

$\therefore \ m,\ n\ 값과\ 관계없이\ \cos nx와\ \sin mx는\ 직교성을\ 가진다.$

❗️ sin 함수의 그래프를 통해서도 알 수 있겠지만, sin 함수는 원점대칭의 기함수이므로 - π 부터 π 까지 적분하면 0이 됩니다. 따라서 cosnx와 sinmx의 곱을 적분한 값이 0이므로, 두 함수는 함수의 직교성 정의에 따라 직교성을 나타낸다는 것을 확인할 수 있습니다.

위의 수식에서 증명한 것 처럼 cosnx와 sinmx는 n, m의 값과 관계없이(n=m이어도 상관없음) 그 곱의 적분값은 0이 되므로, 코사인함수와 사인함수는 그 주파수와 관계없이 항상 직교성을 나타낸다고 할 수 있습니다.

f(x) = Cos nx 와 g(x) = Cos mx는 직교성을 가진다
(단,n ≠ m)

✔️ 다음으로 서로 같은 cos 함수끼리의 직교성에 대해 살펴보겠습니다. 결론부터 말하자면 cos nx와 cos mx는 n과 m이 서로 다른 정수일 때 직교성을 가지지만 n=m일 때는 직교성을 나타내지 않습니다. 즉, ∫cosnxcosmxdx는 n=m일 때는 0이 아니며, n≠m일 때 0의 값을 가지게 됩니다. 우리는 이러한 결론을 아래에서 증명해보도록 하겠습니다.

$\int _{-\pi }^{\pi }\cos nx\cos mx\ dx=\ \frac{1}{2}\int _{-\pi }^{\pi }\left[\cos \left(n+m\right)x\ +\cos \left(n-m\right)x\right]\ dx$

$=\ \frac{1}{2}\int _{-\pi }^{\pi }\cos \left(n+m\right)x\ dx\ +\ \frac{1}{2}\int _{-\pi }^{\pi }\cos \left(n-m\right)x\ dx$

단, n+m과 n−m은 정수이며,  coskx 는 

$-\pi 부터\ \pi 까지\ 적분할\ 시\ 항상\ 0\ \left(단,\ k는\ 반드시\ 정수\right)$

① n≠m일때, n+m과 n−m은 모두 정수이므로 

$\int _{-\pi }^{\pi }\cos nx\cos mx\ dx\ =\ 0$

② n=m일때, 

$\frac{1}{2}\int _{-\pi }^{\pi }\cos \left(n+m\right)x\ dx\ +\ \frac{1}{2}\int _{-\pi }^{\pi }\cos \left(n-m\right)x\ dx$

= 0 + 12∫π−πcos0 dx =0 + 12∫π−π1 dx = 12[x]π−π = 2π2 = π

❗️ 앞선 경우와는 달리 cosnx와 cosmx는 위의 과정과 같이 만약 n=m이면, 곱의 적분값이 0이 아닌 π가 되므로 직교성을 가지지 않습니다. 즉, 코사인 함수끼리 직교성을 가지기 위해서는 각 코사인 함수가 서로 다른 주파수를 가져야 합니다.

※ sinnx과 sinmx 역시 위와 동일하므로 생략하도록 하겠습니다. (n≠m, 즉 사인함수가 서로 다른 주파수일 때만 직교성을 가집니다)

푸리에 계수 결정 공식 유도 (From 함수의 직교성)

✔️ 다음으로 지난번 탐구에서 살펴본 푸리에 급수식에서 a0, an, bn 세가지의 푸리에 계수를 구하는 공식을 유도해보도록 하겠습니다. 이 과정에서는 앞서 살펴본 함수의 직교성이 주로 활용됩니다.

※ 우선 지난 탐구에서 살펴본 푸리에 급수식은 아래와 같습니다.

❗️어떤 주기함수를 푸리에 급수식으로 나타낸다는 것은, 코사인과 사인의 삼각함수의 수열 합으로 표현되어 있지 않은 f(x) = f(x+2π)의 함수를 위와 같은 a0와 삼각함수의 수열합(급수)로서 표현하는 것을 의미합니다. 그리고 실제로 무한급수에서는 기존의 f(x) 그래프와 우리가 푸리에급수식으로 표현한 그래프가 일치하게 됩니다.

❗️어떤 주어진 주기함수식을 위와 같은 푸리에 급수식으로 나타내는 것은, 위의 정해진 급수식의 형식에서 세가지 푸리에 계수 a0, an, bn을 결정해주는 것이라 할 수 있습니다. 지난 탐구에서는 개념적으로 푸리에계수가 가지는 의미가 무엇인지를 살펴보았는데, 이번 탐구에서는 푸리에계수를 구하는 공식과 그 유도과정을 살펴보도록 하겠습니다. 세가지 푸리에 계수는 적분을 활용한 공식으로서 구할 수 있는데, 해당 공식을 아래에서 직접 유도해보도록 하겠습니다.

#1. a0 결정

a0를 쉽게 구하기 위해, 우변에서 a0만 남기고 삼각함수의 급수는 제거하기 위해 양변에 간단한 조작을 해줄 수 있습니다. 양변을 -π에서 π까지 정적분하고 정리하면 a0를 아래와 같이 구할 수 있습니다.

$\textcolor{#ff0010}{\int _{-\pi }^{\pi }}f\left(x\right)\textcolor{#ff0010}{\ dx\ }=\textcolor{#ff0010}{\int _{-\pi }^{\pi }}\ \left[\combi{a}_0+\sum _{n=1}^{\infty }\left(\combi{a}_n\cos nx+\combi{b}_n\sin nx\right)\right]\ \textcolor{#ff0010}{dx\ }$

$=\ \int _{-\pi }^{\pi }\combi{a}_0\ dx+\ \int _{-\pi }^{\pi }\sum _{n=1}^{\infty }\left(\combi{a}_n\cos nx+\combi{b}_n\sin nx\right)\ dx$

$=\int _{-\pi }^{\pi }\combi{a}_0\ dx+\ \sum _{n=1}^{\infty }\left(\combi{a}_n\int _{-\pi }^{\pi }\cos nx\ dx+\combi{b}_n\int _{-\pi }^{\pi }\sin nx\ dx\right)$

$=\int _{-\pi }^{\pi }\combi{a}_0\ dx+\ \sum _{n=1}^{\infty }\left(\combi{a}_n\textcolor{#ff0010}{\int _{-\pi }^{\pi }\cos nx\ dx}\right)+\sum _{n=1}^{\infty }\left(\combi{b}_n\textcolor{#ff0010}{\int _{-\pi }^{\pi }\sin nx\ dx}\right)$

$=\int _{-\pi }^{\pi }\combi{a}_0\ dx+\ \sum _{n=1}^{\infty }\left(\combi{a}_n\textcolor{#ff0010}{0}\right)+\sum _{n=1}^{\infty }\left(\combi{b}_n\textcolor{#ff0010}{0}\right)$

=∫π−πa0 dx = [a0 x]π−π = 2πa0  

$정리하면,\ \textcolor{#000000}{\int _{-\pi }^{\pi }f\left(x\right)\ dx\ }\ =\ \ 2\pi \combi{a}_0\ \ \ 이므로$

$\textcolor{#004e82}{\therefore \ \combi{a}_0\ \ =\frac{1}{2\pi }\int _{-\pi }^{\pi }f\left(x\right)\ dx\ }$