푸리에 적분과 푸리에 변환, 뇌파(EEG) 분석을 통한 뇌신경계 질환의 진단

✔️ 안녕하세요! 의약학 학종 세특 심화탐구 전문 채널 메디컬저널입니다

❗️지난 푸리에급수 콘텐츠에 이어 푸리에 적분과 변환, 그리고 그 의약학적 활용(EEG)에 대해 자세히 탐구해보려 합니다. 푸리에적분, 변환을 세특 탐구 주제로 선택하는 학생들은 많은 반면 학생들이 쉽게 이해하고 활용할 수 있는 자료들은 많지 않다고 느껴 메디컬저널에서는 학생들이 따라올 수 있도록 차근차근 설명해보도록 하겠습니다. 우리는 미적분과목을 통해 정적분과 무한급수의 관계를 배웠기에 이를 통해 지난 탐구였던 푸리에급수로부터 푸리에적분을 직접 유도해낼 수 있습니다.

※ 고등 수준에서 푸리에해석 전체 내용과 유도 과정을 가장 쉽게, 또한 고등 교과 내용과 가장 잘 연계한 자료라 감히 자신합니다. 아래 내용을 차근차근 따라온다면 학생 여러분들도 직접 푸리에 적분과 변환/역변환 공식을 수학적으로 유도해내고 그 응용적 의미를 이해할 수 있을 것으로 확신합니다.

푸리에 급수의 한계를 극복하는 푸리에 적분

✔️ 지난 탐구에서 다룬 푸리에 급수는 '임의의 주기 함수들은 모두 삼각함수의 급수로서 나타낼 수 있다'라는 푸리에 정리를 핵심으로 합니다. 지난 탐구를 간단히 정리해보자면 푸리에 급수는 주기함수인 f(x)를 삼각함수인 코사인과 사인함수 성분들의 합(급수)로서 분해해 표현하는 것을 의미합니다. 이때 수학 교과에서 배우는 것(단순 삼각함수, x축은 각도)과는 달리, 여기서 '주기'라 함은 x축이 '시간'일때, 한번 진동하는데 걸리는 '시간'을 의미합니다. (우리가 실제로 실험 등을 통해 얻는 데이터는 시간을 기준으로 입력되기 때문에 x축을 시간으로 하는 분석이 가장 기본이 됩니다.)

#1

주기함수 f(x)의 주기가 2L이라 할 때, f(x)의 주파수(기본주파수) ω0은 2π/2L=π/L로 정의됩니다. 푸리에 급수는 하나의 주기함수 f(x)를 f(x)의 주파수 ω0 의 정수배(nω0) 주파수를 가지는 삼각함수 성분들의 합으로 나타내며 각 성분들의 가중치는 푸리에계수로 표현됩니다. 이때, 정수배 주파수라는 것은 더 큰 주파수, 즉 더 조밀한 주기함수들의 합으로서 표현하는 의미가 있다고 정리하였습니다.

※ 주기가 2π인 주기함수 f(x)경우 기본주파수 ω0=2π/2π=1 이 되며 지난 탐구에서 다룬 예시들에 해당합니다.

#2

이처럼 하나의 주기함수 f(x)를 여러 주파수(정수배)들의 합으로 분해하는 것은, 결국 어떤 주파수가 얼마만큼(푸리에 계수) 포함되어 있는지를 분석할 수 있도록 하는 것이며, 이는 시간 영역의 데이터들을 주파수 영역의 데이터로 전환해주는 기능을 하게 됩니다. (시간(x)에 따라 들어온 신호의 세기(y)를, 주파수(x)에 따른 신호 세기(y) 영역으로 전환) 이러한 전환의 장점이 무엇인지는 오늘 탐구에서 푸리에 변환과 역변환을 통해 자세히 다루어보도록 하겠습니다.

❗️그런데, 푸리에 급수의 치명적 한계는 분석의 대상이 '주기함수'에 한정된다는 것입니다. 물론 천문학적인 현상들(지구의 자전 등) 혹은 심장박동 등의 생리현상과 생체리듬 등 생명과학적 현상들 중 주기성을 나타내는 것들도 있지만 우리의 일상적 대화 등과 같이 인간의 행동에 의해 촉발되는 현상들은 비주기적인 경우가 많으며 또한 주기적 현상일지라도 주변 노이즈가 유입되어 비주기적인 결과가 관찰될 수 있습니다.

→ 이러한 비주기적 현상들을 분석하기 위해서는 푸리에급수보다 더 강력한 수단이 필요하며 이러한 역할을 하는 것이 바로 '푸리에 적분'이라 할 수 있습니다.이번 탐구에서는 푸리에적분을 직접 유도해보고, 푸리에급수와의 비교를 통해 푸리에 적분이 가지는 응용적 측면에서의 장점과 함께 의약학적 응용에 대해 살펴보도록 하겠습니다.

※ 실제 많은 분석 장비들은 푸리에 적분을 통한 푸리에 변환을 기반으로 하고 있습니다.

✔️ 지난 탐구에서 푸리에 급수의 개념을 정리하고 심전도와 같은 주기적 현상들을 푸리에 급수로서 모델링 할 수 있다는 사실을 알 수 있었다. 그런데 이러한 것들이 내가 알고 있던 실제 푸리에 해석의 실제 응용과는 다소 거리가 있다고 느껴졌고, 이는 주기 함수에 한정된다는 푸리에 급수의 한계로 인한 것이라는 생각이 들었다. 이러한 답답함과 호기심을 해결하기 위해 비주기함수에도 적용할 수 있는 푸리에 적분에까지 탐구를 확장해나가고 싶다는 생각이 들었고 또한 이를 통해 시간영역에서 주파수영역으로의 전환을 실제 의약학 분석적 활용으로 연결시키는 푸리에변환과 역변환에 대해서도 자세히 알아보고 싶다는 열정으로 탐구를 진행해 보았다.

비주기함수의 주기함수화 (무한대 주기)

✔️ 앞서 설명한 것 처럼, 푸리에급수는 주기함수만을 대상으로 합니다. 이는 모든 주기함수는 코사인과 사인함수의 합으로 나타낼 수 있다는 푸리에정리에 기반한 것인데, 그렇다면 비주기함수에도 적용할 수 있는 푸리에적분은 푸리에정리 내용에 위배되는 것이 아닐까요?

우리는 대표적 주기함수인 사인함수를 통해 주기함수와 비주기함수의 경계에 대해 확인해보도록 하겠습니다. y= asin(bx)에서 a=100으로 고정해두고 b를 변경시켜가며 -100<x<100 범위에서 그래프 개형을 살펴보겠습니다. 이때 b를 변경시키는 것은 주파수(진동수)를 변경시키는 것이며, 또한 진동의 주기를 변경시키는 것입니다. (주파수 ∝ 1/주기)

예를들어 b가 2배가 되면, 진동수는 2배가 되는 반면 주기는 1/2배가 됩니다.(desmos 사이트를 통해 학생 여러분들도 직접 그래프를 그려보고 탐구에 기재하시면 좋을듯 합니다.)

#1

b=1일때 (y=100sinx)

→ a=100으로 설정하여 진폭이 크긴 하지만, 원점대칭으로 주기가 반복되는 전형적인 사인함수 그래프라 할 수 있습니다.

#2

b=1/10일때 y=100sin(x/10)

→ b를 1/10배 함으로서 주기가 10배 길어진 (주파수는 1/10배) 함수 개형을 확인할 수 있습니다. 해당 그래프를 보며 우리는 여전히 사인 함수라는 것을 확신할 수 있습니다.

#3

b=1/100일때 y=100sin(x/100)

→ b를 1/100배 함으로서, 주기가 100배로 길어진 사인함수의 그래프입니다. 단, 우리는 해당 함수가 사인 함수라는 것을 이미 알고 있기에 사인함수라 말할 수 있지만, 관측 범위를 -100<x<100으로 제한해놓았기 때문에 해당 함수가 정확히 사인함수라고 말할 수는 없습니다.

#4

b=1/500일때 y=100sin(x/500)

→ b를 1/500배 함으로서 주기가 500배로 길어졌습니다. 해당 관측 범위에서 그래프는 사인함수라기보다는 직선의 그래프처럼 관찰됩니다. 직선은 당연히 주기성을 가지지 않습니다. 위 그래프가 사인함수라는 사실을 모르고 본다면 해당 그래프를 보고 주기함수를 떠올릴 사람은 많지 않을 것입니다. 그런데 그렇다고 해서 위 함수가 정말 비주기함수인 것은 아닙니다. 사인함수는 분명 주기함수입니다. 이처럼 주기함수가 비주기함수처럼 보이는 것이 x범위를 한정시켜놓았기 때문이라 할 수 있지만, x범위를 확장하더라도 그만큼 주기를 늘린다면 마찬가지로 비주기함수처럼 보일 것입니다.

즉, 어떤 주기함수의 주기를 무한정 확장시킬 때(주기가 무한에 수렴할 때) 주기함수는 비주기함수 처럼 된다고 할 수 있습니다,

❗️위 내용을 뒤집어 생각해보면, 어떤 비주기함수일지라도 주기가 무한대인 주기함수로 취급할 수 있음을 생각해낼 수 있습니다. 즉, 이제부터 살펴볼 푸리에 적분은 엄밀히 말하자면 비주기 함수를 주기가 무한대인 주기함수로 취급함으로서 푸리에급수와 마찬가지로 삼각함수 성분들의 수열 합으로 나타내는 것입니다. 즉, 푸리에적분 역시 푸리에정리를 위배 하지 않는다고 할 수 있습니다.

구분구적법, 무한급수와 정적분

✔️ 비주기 함수의 주기를 무한대로 보고 주기함수로서 취급한다는 것은 알겠는데, 이 경우에 왜 푸리에 급수가 아닌 푸리에 적분일까? 하는 궁금증을 가지셨을 것입니다. 이는 무한급수와 정적분 사이의 관계를 이해하고 있다면 비슷하게 적용시킬 수 있습니다.

무한급수가 정적분으로 전환되는 것의 기본은 구분구적법에 있습니다. 구분구적법이란 도형의 넓이를 직사각형 등의 기본 도형 여러개로 분할하고 그 도형들의 넓이를 구해 더함으로서 전체 넓이를 계산하는 방식을 의미합니다.

→ 구분구적법에서, 분할된 각 직사각형 넓이의 급수는 n이 무한에 수렴하는 무한급수에서 정적분과 같아집니다. 이때 n이 무한대로 수렴하면 밑변의 길이에 해당하는 Δx는 0에 수렴하게 됩니다. 위의 정리를 통해 우리는 급수를 적분으로 전환하는 방식에 대해 이해할 수 있습니다.

푸리에 급수와 푸리에 적분

✔️ 앞서 살펴본, 비주기함수를 주기가 무한대인 주기함수로 취급한다는 것과, 구분구적법의 원리로 무한급수를 정적분으로 표현할 수 있다는 것을 적용하여 푸리에 급수식으로부터 푸리에 적분식을 유도해낼 수 있습니다.

❗️우선 지난 탐구에서 정의한 푸리에 급수식과, 주기 2L인 함수의 푸리에 계수를 다시 정리해보겠습니다.

<푸리에 급수>

$f\left(x\right)\ =\ \combi{a}_0\ +\ \sum _{n=1}^{\infty }\left(\combi{a}_n\cos n\omega _0x+b_n\sin n\combi{\omega }_0x\right)$

nω0=ωn 이라 정의하면,  f(x)=a0 + ∞∑n=1(ancosωnx+bnsinωnx) 

<푸리에 계수> ·주기 2L일 때

$\combi{a}_0\ =\frac{1}{2L}\int _{-L}^Lf\left(x\right)\ dx$

$\combi{a}_n\ =\frac{1}{L}\int _{-L}^Lf\left(x\right)\cos \omega _nx\ dx$

$b_n\ =\frac{1}{L}\int _{-L}^Lf\left(x\right)\sin \omega _nx\ dx$