코로나19 진단검사의 원리와 민감도·특이도

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코로나19 진단검사, 종류와 차이점은?

✔️ 3년이 넘는 시간동안 지속되어 온 코로나19 팬데믹의 종식 그리고 일상 회복과 함께 지난 8월 일반 입원환자와 유증상자의 코로나 진단검사 수가가 종료되었습니다(환자 부담 비급여로의 전환). 이러한 변화와 함께 전국민적인 코로나 진단 검사의 빈도는 점차 감소하고 있지만, 우리 대부분은 코로나 진단 검사의 경험이 있고, 코로나가 심각했던 당시 여러 방식의 진단검사 방식들의 차이에 대해 심각하게 고민했던 적이 있었습니다.

❗️코로나 진단검사는 시행 주체가 누군지에 따라 개인이 직접 시행하는 자가키트(자가 신속항원검사)와 병원에서 의료인에 의해 시행되는 신속항원검사(전문가용)와 PCR 검사로 나누어집니다. 혹은 진단검사의 메커니즘에 따라 분류하면, 신속항원검사(자가키트, 전문가용)와 PCR 검사로 나눌 수 있습니다.

⭐️ 이번 탐구에서는 코로나 19 진단검사를 비롯해 대부분의 진단검사 기본 원리를 역함수로서 설명하고, 코로나 19 진단 방식 각각의 분자생물학적 메커니즘과 이러한 진단검사의 진단 능력을 평가하는 지표인 민감도와 특이도가 무엇인지를 탐구해보도록 하겠습니다.

✔️ 수년 전 코로나 진단검사의 수가가 종료된다는 기사를 보며 길었던 코로나 펜데믹의 종식이 정말로 찾아왔음을 실감할 수 있었다. 그런데 일상을 회복하는 것은 긍정적이지만, 수가의 종료는 코로나 진단을 위해서는 비싼 비급여 진단을 해야한다는 것이기에, 만에 하나 나한테 코로나 의심 증상이 나타난다면 어떻게 해야할까?하는 두려운 생각이 들었다. 이러한 우려는 팬데믹 당시 자가진단키트와 병원에서의 진단 방식의 차이에 대해 가졌던 궁금증을 다시 상기시키게 하였고, 이번 기회에 여러 진단 방식들의 메커니즘적인 차이에 대해 탐구해보고 싶은 생각이 들었다. 또한 지난 수학(상) 과목의 직선의 방정식 탐구를 확장하여 검량선과 역함수를 통해 진단 검사의 기본이 되는 수학적 원리를 설명해보려 한다.

역함수(Inverse function)란?

✔️ 두 변수 x, y 에 대하여 x가 정해지면 그에 따른 y 값이 단 하나로 결정 될 때, y를 x에 대한 함수라 합니다. 즉, f(a)= 2 or 3 과 같은 함수는 존재하지 않습니다. 이는 하나의 x에 대해 반드시 하나의 y가 존재해야함을 의미합니다. 우리는 역함수 f-1라는 것이 y를 x로, x를 y로 바꾼 함수라는 것을 알고 있습니다. 역함수도 함수이기 때문에, 역함수가 존재하기 위해서는 하나의 y에 대해서도 마찬가지로 하나의 x만이 존재해야 합니다.

❗️이를 집합으로 설명하면 집합 X와 Y가 존재하고 함수 f : X→Y,역함수 f-1 : Y→X일 때, x는 하나의 y에 대응해야 하는 동시에, 마찬가지로 y는 하나의 x에 대응되는, 즉 일대일 대응의 관계일 때만 역함수가 정의될 수 있습니다.

즉 역함수란, X가 정의역, Y가 공역(=치역)이었던 f에서 역으로 Y를 정의역, X를 공역(치역)으로 하는 함수를 새롭게 정의한 것입니다. 역함수를 구하는 것은 간단하게는 x와 y를 바꾸어주면 되는데, x를 y로 바꿀 것이기 때문에 우선 식을 x에 대해 정리해주고 x와 y를 바꾸어 줌으로써 역함수를 쉽게 구할 수 있습니다.

f와 f-1 는 그래프적으로는 직선 y=x에 대해 대칭하고 있으며 (f-1)-1=f 등 다양한 수학정 성질이 있습니다. 이에 대해서는 스스로 정리해보시길 바랍니다.

역함수(Inverse function)의 활용

❗️ 이번 탐구에서 우리가 보다 주안점을 두는 것은, 이처럼 개념적으로는 비교적 간단한 역함수가 실제로는 어떻게 활용되는지 입니다. 응용적 요소를 이해하기 위해서는 본질적으로 y와 x를 바꾸는 것이 어떤 의미가 있는지를 생각해보아야 합니다.우리가 f(x)라는 함수를 정의하는 것은, x를 입력하였을 때, 어떤 y가 출력되는지를 알려주는 도구를 만드는 것입니다. 이때 x는 주로 우리가 입력하는 독립변수 값이며, y는 x에 따라 결정되는 종속변수입니다.

❗️ 인과 관계가 존재하는 현상들의 경우, 원인이 결과를 만들어냅니다. 즉 원인은 결과에 선행해야합니다. 우리는 원인 값들을 x 변수로서 바꿔가며 그때 산출되는 y값들을 통해 x와 y사이의 관계를 선형회귀분석 등의 방법으로서 함수로 규명할 수 있습니다. 이는 지난번 탐구였던 '검량선(Standard curve)'에 해당합니다.

‣ 이때 x와 y를 바꾸는 것은, 결과 값을 x로 정의하고 그에 따른 원인을 y값으로서 정의하는 것 입니다. 즉 역함수

f-1 는 결과값(x)에 따라 원인값(y)를 도출할 수 있는 수학적 도구라 할 수 있습니다. 즉, 역함수를 구해내면 어떤 인과관계가 있는 두 변수(원인과 결과) 중 결과를 통해 원인을 역추적 해낼 수 있습니다.

‣ 원인에 따라 결과가 어떻게 변화하는지 그 관계를 규명하기 위해서는, 원인 변수를 우리가 직접 변화시켜가며 그때 나타나는 결과를 관찰하고 수학적 관계를 분석 할 수 있습니다. '검량선'이 바로 이러한 방식입니다. 그런데, 결과에 따라 원인 값이 어떻게 되는지 그 관계는 검량선으로서 파악할 수가 없는데, 인과관계에서 결과가 되는 값은 우리가 조작에 의해 변화시킬 수 없는, 원인 변수에 후행하는 것이기 때문입니다.

⭐️ 예를들어 '칼로리 섭취량'과 '체중 증가량'이라는 두가지 변수가 존재할 때, 칼로리 섭취량과 체중 증가량 사이에는 인과관계가 존재하며, 칼로리 섭취량이 원인, 체중 증가량이 결과에 해당합니다.

① 칼로리 섭취량(x)에 따라 체중 증가량(y)이 어떻게 되는지를 수학적 함수로 정의하고 싶을 때, 우리는 칼로리 섭취량을 변화시켜가며, 각각의 경우에 체중 증가량이 어떻게 되는지를 확인할 수 있고, 그로부터 선형회귀분석을 통해 직선적 관계를 정의할 수 있습니다.

② 반면, 체중 증가량(x)에 따른 칼로리 섭취량(y)이 궁금할 때, 우리는 체중 증가량을 독립적으로 변화시킬 수는 없습니다. 그 이유는 체중 증가량이란 인과 관계에서 결과 변수에 해당하는 것으로, 반드시 칼로리 섭취량 변수에 후행하는 것이기 때문입니다. 즉, 이러한 경우 체중 증가량을 보고 칼로리 섭취량이 어떻게 되는지를 계산할 수 있는 수학적 함수를 구하기 위해서는, 칼로리 섭취량(x)에 따른 체중 증가량(y) 함수 f 를 정의하고, x와 y를 바꾸어 정리함으로써 그 역함수 f-1 를 수학적으로 구해내는 방법밖에 없습니다.

⭐️ 즉, 이처럼 역함수를 통해 구해낸 역함수는 본래의 인과관계를 역행하여 결과 값을 통해 원인 값을 역추적해낼 수 있는 의미를 가지고 있습니다.

검량선과 역함수, 진단검사와 ELISA
(Enzyme-Linked Immunosorbent Assay)

✔️ 앞서 살펴본 것 처럼, 자연적 인과관계를 역행하여 결과로부터 원인을 역추적해내기 위해서는 우선 원인(x)과 결과(y)의 직선적 관계를 나타내는 함수인 '검량선(Standard curve)'를 작성하고, 이때 얻어진 함수에서 x와 y를 바꾸고 정리하여 역함수 f-1 를 구해내야 합니다.