적분을 통한 하겐 푸아죄유 법칙의 유도, 급성 심근경색의 예방과 치료

✔️ 안녕하세요, 의약계열을 희망하는 학생들이라면 반드시 참고해야할 세특 심화탐구 참고보고서 전문 메디컬저널입니다.

돌연사 1위 질환, 급성심근경색(Acute myocardial infarction, AMI)

✔️ 외관상 건강하던 사람이 갑작스럽게 사망(증상이 생긴지 1시간 이내)하는 것을 '돌연사' 혹은 '급사'라 합니다. 돌연사의 가장 큰 원인이 되는 것은 '심장마비'라는 이름으로 알려진 '급성 심근경색증'입니다.

생명과학1에서 배운 것처럼 심장은 펌프질을 통해 영양소와 산소를 포함한 혈액을 인체 전체에 공급해주어야 합니다. 그런데 이러한 펌프질을 위해서는 심장 스스로도 지속적으로 영양소와 산소를 공급받아야 하며, 이러한 공급의 역할을 하는 혈관이 바로 '관상동맥'입니다.

이러한 관상동맥이 좁아지거나 막힘에 따라 심장으로 공급되는 혈류가 차단됨에 따라 심장 근육은 매우 빠르게 손상(괴사)되는 것이 심근경색이며, 그 결과 정상적인 심장 박동이 일어나지 못하는 '부정맥(비정상적 심장박동)'이 발생하게 되고 심한 경우 심정지로 이어질 수 있습니다. 부정맥 혹은 심정지는 산소와 영양소를 인체에 공급하지 못하는 것을 의미하며 결국 생명 유지에 필수적인 인체 기능들이 소실되어 사망에 이르게 됩니다.

# 심근경색 조기증상

출처 : 인하대 병원

❗️지난 탐구에서 살펴보았던 것 처럼 심장 근육 조직은 재생 능력이 없는 영구조직에 해당하며 따라서 심장 근육 세포의 손상은 비가역적인 것이라 할 수 있습니다. 이러한 이유로 심근경색은 병원 도착 전 사망률이 50%에 이르는 동시에, 빠르게 치료받지 못할 경우 생존하더라도 심각한 후유증을 남길 수 있는 질병입니다. 따라서 급성심근경색은 그 증상을 미리 인지함으로써 치료의 골든타임을 사수하고, 치료 후에도 철저히 관리하는 것이 매우 중요한 질병이라 할 수 있습니다.

⭐️ 이번 탐구에서는, 물리1 교과목의 개념들을 통해 유체역학의 기본에 대해 이해하고, 수학2/미적분 과목과 연계하여 적분을 통해 유체역학의 '하겐 푸아죄유 법칙'을 직접 유도해보겠습니다.

또한 이를 관상동맥에서의 혈액 흐름에 적용하여 죽상동맥경화에 의한 심근경색의 메커니즘을 살펴보고 이를 예방, 치료하는 방법에 대해 의약학 진로와 연계하여 심화 탐구를 진행해보도록 하겠습니다.

✔️ 심장이 우리 인체에서 가장 중요한 기관 중 하나라는 기본적 지식(상식)을 심장이 우리 몸 전체 조직세포들에 산소와 영양소를 공급한다는 생명과학1의 내용으로서 학문적 지식으로 정립할 수 있었다. 이러한 심장이 비가역적으로 손상되는 심근경색은 건강한 20~30대의 돌연사를 유발할 수도 있다는 점에서 심근경색은 전 연령층에서 이해를 필요로 하는 질병이며, 특히 환자의 생명을 구하고 삶의 질을 개선시키는 의약학 진로를 목표로 하는 학생들에게는 더욱 큰 의미를 지닌다고 할 수 있다. 그러한 중요성을 인지하며 심장과 혈관의 생리에 대해 물리학적 개념을 적용하고 나아가 급성 심근경색의 원인을 수학적 방식으로 이해함으로써 이를 예방하고 치료하는 방법들에 대해 이번 탐구를 통해 자세히 정리해보려 한다.

#0 생명과학1

심장의 구조와 기능

✔️ 심장의 기본적 구조(심방, 심실 구조)와 기능(펌프질을 통해 인체 조직세포에 산소, 영양소를 공급)은 생략하도록 하겠습니다. 교과서 혹은 부교재를 통해 직접 정리해보시길 바랍니다. 이번 탐구에서는 탐구주제와 관련하여 '관상동맥'을 위주로 살펴보도록 하겠습니다.

❗️좌심실에 연결된 대동맥은, 좌심실 수축기에 인체 전체로 혈액을 내보내는 역할을 합니다. 심장 스스로 혈액을 공급하는 관상동맥은 대동맥의 시작 부위에서 나눠져 나온 것으로,

심장 전체를 '관(pipe)'과 같은 형태로(이름이 관상동맥인 이유) 감싸고 있습니다. 관상동맥은 크게 심장의 오른쪽 부위로 혈액을 공급하는 우관상동맥과 왼쪽 부위로 혈액을 공급하는 좌관상동맥으로 나누어지며, 좌관상동맥은 다시 좌회선동맥(좌순환동맥)과 좌전하행동맥으로 분류됩니다.

※ 우관상동맥이 한갈래로 되어있는 반면, 좌관상동맥은 더 정교하게 두 갈래로 나누어지는 것은, 온몸순환을 위한 펌프질을 수행하는 좌심실에 더 많은 근육세포들이 존재하며 더 큰 작업부하를 견뎌야하기 때문에 더 많은 심근세포들에 골고루, 충분하게 영양소와 산소를 공급하기 위해서라고 할 수 있습니다.

❗️ 관상동맥 혈액흐름의 특이한 점은, 심실의 수축기에 대동맥을 통해 온몸에 혈액이 공급되는 것과는 달리 관상동맥을 통한 혈액 공급은 심실의 이완기에 이루어집니다.

그 이유는 심실의 수축기에는 강한 압력으로 인해 대동맥 시작부(대동맥 판막 근처)에 위치한 관상동맥이 쪼그라들어 있어 혈액이 관상동맥으로 가지 못하고 대동맥을 통해 온몸으로 흐르기 때문이며, 이후 이완기에서 압력이 낮아짐에 따라 반대로 역류하는 혈액들이 압력 감소로 인해 팽창된 관상동맥을 통해 흘러가게 됩니다.

이때 역류하는 혈액들이 좌심실로 향하지 않고 관상동맥으로 향하는 것은 좌심실과 대동맥 사이에 역류를 방지하는 판막이 존재하기 때문입니다. (위 그림처럼 판막 근처에 우관상동맥과 좌관상동맥이 연결되어 있으며, 판막이 닫혀 좌심실로는 혈액이 이동하지 못하고 관상동맥으로 흐르게 됩니다.)

#1 수학2/미적분

적분과 차원(Dimension)

❗️. 수학적으로 함수 f(x) 아래 면적을 구하는 적분에 의해 낮은 차원의 정보가 더 높은 차원으로 이동하는, 차원 상승이 일어나게 됩니다. 지난 탐구에서 다룬 예시처럼, 와인 배럴의 각 단면의 넓이를 차곡 차곡 더해가는 적분은 와인 배럴의 부피가 됩니다. 넓이의 단위는 m2인 반면, 부피의 단위는 m3이라는 점에서, 단위를 통해서도 차원이 하나 상승한 것을 이해할 수 있습니다.

❗️수학적으로 구분구적법을 통해 적분을 이해할 때도, 구분구적법에서 직사각형의 갯수가 무한대에 수렴하면 밑변의 길이는 0에 수렴하는 미소길이(dx)가 되며 결국 적분이란 각 지점에서의 높이(y값)들을 계속해 더해나가는 것이라 할 수 있습니다. 즉 적분에 의해 길이(1차원)가 넓이(2차원) 값으로 이동하게 됩니다.

유체 속도(u)와 유량(Q)

✔️ 단순히 하겐-푸아죄유 법칙의 유도에 적분이 활용된다는 결론이 중요한 것이 아니라, 무엇을 적분하여 어떻게 목적으로 하는 값을 구해내는지를 이해하는 것이 더 중요합니다. 유체속도(u)를 적분한 것이 유량(Q)이라는 사실을 모른 채 결론만을 제시하는 것은 이해가 아닌 단순 암기에 지나지 않습니다.

❗️유체속도(u)란 유체(액체 혹은 기체)가 단위 시간당 얼마나 이동하는 지, 즉 얼마나 빠르게 흐르는지를 나타내며 그 단위는 m/s 등의 속도 단위가 됩니다. 반면 유량(Q)이란, 단위 시간(분 혹은 초)당 특정 지점을 통과하는 유체의 양에 해당하며 그 단위는 L/m(분) 혹은 L/s(초)로 나타낼 수 있을 것입니다. 이때 L(리터)란 주로 액체나 기체의 부피를 나타내는 부피 단위로 1L=0.001m3 에 해당합니다. 즉 리터는 m3과 같은 차원의 부피 단위라 할 수 있습니다.

❗️위 그림과 같이 원통형 파이프(관)을 통해 물이 흘러갈 때, 원통의 모든 지점에서 물이 유속 10m/s로 흘러가고 있다고 가정해 보겠습니다. 오른쪽 그림과 같이 원통의 특정 지점 단면을 생각해보면 단면의 모든 지점에서 물이 10m/s로 지나가고 있습니다.

이는 단면의 모든 점(미소 지점)에서 1초당 10m에 해당하는 물줄기가 지나감을 의미합니다. 단, 유량이란 '양'의 개념으로서 길이가 아닌 부피의 차원에 해당합니다. 모든 점들에서 1초당 10m가 흘러간다고 했을 때, 단면적을 곱해주면 부피가 되며 이는 1초당 해당 지점(단면)을 통해 지나가는 물의 양(유량)이라 할 수 있습니다.

※ 이는 2차원 좌표평면에서 곡선의 y값(길이)들을 모두 더하는 적분에 의해 곡선 아래 넓이를 구하는 것과 같은 이치입니다.

→ 그런데 만약, 단면의 모든 지점에서 물이 같은 속도로 통과해 가는 것이 아니라, 지점에 따라 유속이 다르다면 유량을 어떻게 구해야 할까요? 만약 왼쪽 그림과 같이 4개의 영역에서 유속이 다르다면,

각 지점에서의 유속과 단면적의 곱을 더한 급수로 표현할 수 있습니다. 반면 오른쪽 그림과 같이 단면의 모든 지점들에서 유속이 다르다면, 유량은 유속을 각 지점에 대해 적분한 값으로서 구할 수 있습니다.

⭐️ 위의 예시들을 통해, 곡선의 y값들을 누적하여 넓이를 구하는 적분의 개념과 같이 파이프 단면의 지점에 따른 유속(u)을 적분함으로써 유량(Q)을 구할 수 있다는 것을 이해할 수 있습니다.